Re: T-Score

คะแนนที (T score) คืออะไร?

คำถามต่อไปนี้ มักจะได้ยินจากนักศึกษาที่เรียนฟิสิกส์เสมอเป็นประจำทุกเทอม

“ ผมได้คะแนนสอบ ฟิสิกส์ 1 รวมกันแล้วได้ 38 % ผมจะมีโอกาสติด F หรือไม่ ”

“ อาจารย์คะ เทอมนี้ฟิสิกส์ ตัด F ที่เท่าไร ”

“ คะแนน 75 % จะมีสิทธิ์ ได้เกรด A หรือไม่ ”

“ ทำไม ปีนี้ฟิสิกส์ ตัดเกรดโหดกว่าปีที่แล้ว ปีที่แล้วคนได้ 35 % ยังได้ D เลย แต่ปีนี้กลับได้ F”

ที่ผ่าน ๆ มาทุกปี สาขาวิชาฟิสิกส์ตัดเกรดนักศีกษาที่เรียนฟิสิกส์ 1 และ ฟิสิกส์ 2 โดยใช้วิธีอิงกลุ่ม ทำการแปลงคะแนนดิบนักศึกษา(คะแนนเต็ม 100 ) ให้เป็นคะแนนทีปกติ จากนั้นจึงไปเทียบกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (Normal curve) คะแนนของนักศึกษาตกอยู่ตรงพื้นที่ใต้โค้งตรงกับเกรดใด นักศึกษาก็จะได้เกรดนั้น ทั้งนี้คณาจารย์ผู้ตัดเกรดยังคงได้ใช้ดุลยพินิจอื่น ๆ ประกอบด้วย เช่น ความมีมานะพยามยาม ความตรงต่อเวลาในการส่งงานที่มอบหมายและความตั้งใจเรียนในห้องเรียนของนักศึกษา เขตแดนของเกรดแต่ละเกรดอาจขยับขึ้นลงได้ตามความเห็นของคณาจารย์ที่ตัดเกรด

แล้วทำไมต้องใช้คะแนนที ปกติมาช่วยในการตัดเกรด ทำไมไม่ใช้คะแนนดิบตัดเกรดตรง ๆ ฟันธงลงไปเลย

คะแนนดิบ โดยลำพังมิได้บอกความหมายอะไรให้แก่ผู้ฟังมากนัก เช่น นักศึกษาคนหนึ่งบอกว่าสอบได้คะแนน 80 จากคะแนนเต็ม 100 เมื่อได้ยินเพียงแค่นี้ อาจนึกในใจว่านักศึกษาคนนี้ต้องเป็นคนเก่งแน่นอน เพราะทำข้อสอบได้ถึง 80 % แต่ถ้าซักลงไปในรายละเอียดว่ามีนักศึกษาเข้าสอบทั้งหมดกี่คน คะแนนเฉลี่ยของกลุ่มมีค่าเท่าใด คะแนนสูงสุด คะแนนต่ำสุดมีค่าเท่าใด ก็อาจจะมองภาพความสามารถของนักศึกษาผู้นี้ได้ชัดขึ้น เช่น ถ้านักศึกษาตอบว่า มีผู้เข้าสอบ 30 คน คะแนนเฉลี่ยของกลุ่มคือ 95 คะแนน คะแนนสูงสุดคือ 100 และต่ำสุดคือ 80 คะแนน จะเห็นได้ชัดว่านักศึกษาคนนี้สอบได้ที่สุดท้ายของกลุ่ม เมื่อเปรียบเทียบกับคนอื่น ๆ ภายในกลุ่มแล้ว นักศึกษาคนนี้เรียนอ่อนที่สุด (กรณีนี้แสดงให้เห็นว่าข้อสอบที่ให้นักศึกษาทำนั้นค่อนข้างง่าย นักศึกษาส่วนใหญ่ทำข้อสอบได้ คะแนนจึงมากองกันอยู่ที่ค่าสูง ๆ )

คะแนนที (Tscore) เป็นคะแนนที่นำคะแนนดิบมาผ่านขั้นตอนทางสถิติ ทำให้สามารถวัดได้ว่าผู้เข้าสอบมีความสามารถเป็นอย่างไรเมื่อเทียบกับผู้เข้าสอบ(ในวิชาเดียวกัน)ทั้งหมด สามารถบอกได้มีคนเก่งกว่าเรากี่คน และเราทำคะแนนชนะผู้อื่น อยู่กี่คน

ในการคำนวณคะแนนที เราจะหาคะแนนซี (Z score) ก่อน โดย คะแนนซีของคะแนนค่าใด ๆ คำนวณได้จากสูตร

คะแนนใดที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยจะได้คะแนนซี เท่ากับศูนย์ คะแนนที่มีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยจะได้คะแนนซีที่มีค่าติดลบ ดังนั้นเราจึงนิยมแปลงคะแนนซี ให้เป็นคะแนนที เพื่อให้พ้นค่าติดลบเหล่านี้โดยใช้สูตร

คะแนนที จึงเป็นการแปลงคะแนนของกลุ่ม โดยทำให้มีคะแนนเฉลี่ยของกลุ่มเป็น 50 และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 นั่นเอง คะแนนสอบทั้งกลุ่มจึงมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 100

โดยธรรมชาติ นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่า ถ้าจับเอาคนหลาย ๆ คนมาทดสอบสติปัญญาด้วยข้อสอบที่เป็นมาตฐาน ความสามารถหรือสติปัญญาของมนุษย์จะมีการแจกแจงความถี่เป็นแบบโค้งปกติ ดังภาพที่ 1 นั่นคือ คนที่ทำข้อสอบได้คะแนนสูงมาก ๆ และต่ำ มาก ๆ จะมีเป็นจำนวนน้อย คนส่วนใหญ่จะทำข้อสอบได้คะแนนปานกลาง เมื่อนำความถี่ของแต่ละคะแนนมาพล็อตกราฟ จะได้เป็นเส้นโค้งรูประฆังคว่ำ หรือเส้นโค้งปกติ

แต่ในความเป็นจริงในเชิงปฏิบัติ ข้อสอบอาจเป็นข้อสอบที่ง่ายเกินไปหรือยากเกินไป ข้อสอบไม่สามารถจำแนกคนเก่ง หรือคนอ่อนได้ จะทำให้การแจกแจงความถี่ของคะแนนผู้เข้าสอบไม่เป็นโค้งปกติ อาจทำให้เส้นโค้งนั้นเบ้ขวา Positively Skewed กรณีนี้แสดงว่าข้อสอบยากไป

หรือทำให้เส้นโค้งแสดงการแจกแจงความถี่เบ้ไปทางซ้าย Negatively Skewed

การแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนที แบบนี้ เรียกว่า เป็นการแปลงเชิงเส้นตรง (linear transformation) ถ้าคะแนนดิบมีการแจกแจงความถี่เป็นเส้นโค้งที่มีลักษณะเบ้อย่างไร คะแนน Z และ คะแนน T ที่ได้ ก็จะเบ้ไปตามเช่นนั้นด้วย จึงแก้ปัญหาในกรณีเช่นนี้ด้วยการใช้คะแนนทีปกติ (Normalized T score)

คะแนนทีปกติ ก็เหมือนกับคะแนนทีที่กล่าวมาแล้วข้างต้น เป็นคะแนนที่ใช้บอกตำแหน่งที่สอบได้ ไม่ขึ้นอยู่กับคะแนนดิบหรือคะแนนเต็ม สิ่งที่ต่างกันคือตำแหน่งที่ได้ได้มาจากการเปรียบเทียบกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ วิธีการนี้จะเปลี่ยนคะแนนดิบที่มีการแจกแจงความถี่ไม่เป็นโค้งปกติ โดยการเกลาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของคะแนนดิบให้สอดคล้องกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ แล้วจึงเปลี่ยนจากคะแนน Z ให้เป็นคะแนนที อีกทอดหนึ่ง

วิธีการคำนวณคะแนนทีปกติ สามารถอ่านต่อได้จากหัวข้อ ขั้นตอนการคิดคะแนนทีปกติ

 

ขั้นตอนการคิดคะแนนทีปกติ

จะขอยกตัวอย่างประกอบคำอธิบายไปพร้อม ๆ กันเลยดังนี้

ในการสอบวิชาหนึ่ง จำนวนนักศึกษา 20 คน ได้คะแนนสอบ ดังนี้

24, 20, 15, 12, 24, 27, 14, 18, 20, 19, 23, 20, 21, 20, 23, 24, 25, 20, 17, 15

การแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนทีปกติ ให้ทำตามลำดับขั้นดังนี้

1. เขียนคะแนนดิบเรียงจากมากไปหาน้อย ให้คะแนนสูงสุดอยู่ด้านบน หาความถี่ของคะแนนแต่ละคะแนนดังรูปที่ 1

2. หาความถี่สะสม โดยการนำความถี่ของคะแนนนั้น รวมกับความถี่สะสมของคะแนนที่อยู่ต่ำกว่าตัวมันเอง 1 บรรทัด จะเห็นว่าความถี่สะสมบรรทัดบนสุด จะมีค่าเท่ากับจำนวนคนที่เข้าสอบ

 

3. คำนวณหาค่า (cf + 0.5 f) ค่านี้จะนำไว้ใช้หา Percentile ของคะแนน ความหมายของสูตรนี้คือ ให้นำความถี่สะสมของคะแนนบรรทัดที่อยู่ต่ำกว่า 1 บรรทัด + ครึ่งหนึ่งของความถี่ของคะแนนในบรรทัดนั้น

4. เปิดตารางการแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนทีปกติ โดยใช้ค่าในคอลัมน์ (cf + 0.5f) ได้สแกนค่าบางส่วนของตารางมาเทียบให้ดูเป็นตัวอย่างดังนี้ (ตารางนี้ ผู้เขียนได้รับแจก ตั้งแต่สมัยเข้าบรรจุเป็นครูใหม่ ๆ เข้าใจว่ากระทรวงศึกษาธิการยุคนั้นเป็นผู้เผยแพร่ ที่หัวตารางเขียนไว้ว่าเป็นของ อาจารย์ชวาล แพรัตกุล ตารางนี้ใช้ได้กับจำนวนผู้เข้าสอบตั้ง 10 คน แต่ไม่เกิน 60 คน)

 

ช่องที่เราต้องใช้คือช่องซ้ายมือสุด เป็นค่า (cf + 0.5f) และช่องที่ระบุจำนวนผู้เข้าสอบ 20 คน (ล้อมกรอบด้วยเส้นสีแดง) วิธีอ่านค่าจากตารางคืออ่านคลุมแนวตั้งตั้งแต่ด้านบนลงมาด้านล่าง ค่า ( cf + 0.5f ) ค่าแรกสุดในตารางของเรา คือ 19.5 เมื่อดูจากตารางพบว่าจะได้ค่า คะแนนทีปกติเท่ากับ 70

ค่า (cf + 0.5f) ถัดมาในบรรทัดที่ 2 คือ 18.5 เมื่อดูจากตาราง จะเห็นว่าได้ค่าคะแนนทีปกติ เท่ากับ 64

ค่า (cf + 0.5f) ถัดมาในบรรทัดที่ 3 คือ 16.5 เมื่อดูจากตาราง จะเห็นว่าได้ค่าคะแนนทีปกติ เท่ากับ 59

ทำเช่นนี้เรื่อย ๆ ไปจนครบทุกบรรทัด

 

 

ถ้าจำนวนผู้เข้าสอบมีเป็นจำนวนมาก เช่นเกิน 60 คน ขึ้นไปในที่นี้ ก็จะไม่สามารถใช้ตารางนี้หาคะแนนทีปกติ ได้

ในโปรแกรมคำนวณคะแนนทีปกตินี้ ได้เพิ่มช่อง Percentile ซึ่งจะเป็นตัวบอกว่าผู้เข้าสอบมีตำแหน่งของคะแนนเหนือกว่าผู้สอบทั้งหมดอยู่เท่าไร เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตรงตำแหน่งผู้เข้าสอบนั้นอยู่

เมื่อนำพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ คูณด้วย 100 จะได้ค่า Percentile ของคะแนนของผู้เข้าสอบรายนั้น เมื่อทราบพื้นที่ใต้เส้นโค้ง เราสามารถหาย้อนกลับได้ว่า คะแนน Z เท่าใดทำให้เกิดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ค่าดังกล่าว สมการของเส้นโค้งปกติหาได้จาก

 

เมื่อได้ค่า คะแนน Z แล้ว หาคะแนน T ปกติ ได้จาก

 

เมื่อเพิ่มคอลัมน์ Percentile จะได้ดังตาราง

 

เปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากโปรแกรม ในโปรแกรมจะเห็นว่าคำนวณคะแนนที ปกติ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง ขณะนี้อาศัยการเปิดตารางจะได้คะแนนที ปกติ เป็นจำนวนเต็ม

 

5. เมื่อแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนนทีปกติ เรียบร้อยแล้วต่อไปก็เข้าสู่ขั้นตอนการตัดเกรด

 

 

การตัดเกรด

การกระจายของความถี่ของคะแนนผู้เข้าสอบจะมีลักษณะเป็นโค้งปกติ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน % พื้นที่ใต้เส้นโค้งสะสม คะแนน Z และคะแนน T แสดงเปรียบเทียบ ได้ดังรูป

 

 

ในที่นี้จะกล่าวเฉพาะกรณีแบ่งการตัดเกรดออกเป็น 5 เกรด คือ A, B, C, D และ F (ถ้าจะแบ่งเกรดให้เป็น A, B+, B, C+, C, D+, D และ F เพียงซอยย่อยบริเวณของแต่ละเกรดออกเป็น สองส่วนเท่านั้น )

จากตัวอย่าง ในการสอบวิชาหนึ่ง จำนวนนักศึกษา 20 คน ได้คะแนนสอบ ดังนี้

24, 20, 15, 12, 24, 27, 14, 18, 20, 19, 23, 20, 21, 20, 23, 24, 25, 20, 17, 15

เมื่อแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนนทีปกติแล้วจะได้ดังตาราง ( ดูวิธีการในหัวข้อ การคำนวณคะแนนทีปกติ)

 

เมื่อผู้ใช้เลือกตัดเกรด A, B, C, D, F

หาพิสัย (Range) ของคะแนน ในที่นี้คือ

(คะแนนทีปกติค่าสูงสุด – คะแนนทีปกติค่าต่ำสุด)/ จำนวนเกรดที่จะตัด

= (70 -30) / 5 = 8

คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 + 1.5 * พิสัย จะได้เกรด A

50 + 1.5*8 = 62 คะแนน T ปกติ 62 ขึ้นไปจึงจะได้ A

คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 + 0.5* พิสัย แต่ไม่ถึง 50 +1.5* พิสัย จะได้เกรด B

50 + 0.5 *8 = 54 คะแนน T ปกติ 54 ถึง 61 จะได้ B

คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 - 0.5* พิสัย แต่ไม่ถึง 50 + 0.5* พิสัย จะได้เกรด C

50 - 0.5 *8 = 46 คะแนน T ปกติ 46 ถึง 53 จะได้ C

คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 -1.5* พิสัย แต่ไม่ถึง 50 – 0.5* พิสัย จะได้เกรด D

50 - 1.5 *8 = 38 คะแนน T ปกติ 38 ถึง 45 จะได้ D

คะแนนทีปกติ ที่น้อยกว่า 50 -1.5* พิสัย จะได้เกรด F

คะแนนทีปกติที่น้อยกว่า 38 จะติด F

นำเกรดที่ได้ไปเขียนลงในตาราง จะเป็นดังนี้

ทดลองนำข้อมูลคะแนนเหล่านี้ไปป้อนให้โปรแกรม Normalized T score Calculation ทำงาน จะได้ผลลัพธ์ที่ตรงกัน ดังภาพ

 

------------------------------

2012/3/16 Handsomemans Rich <handsomemans.rich@gmail.com>